标题：《混沌分形理论》： 给缠迷扫盲

缠论，是缠MM用混沌理论、分形理论研究股市的研究成果。如果不了解混沌理论、分形理论，就无法深入理解缠论。介绍一下混沌理论、分形理论的基本内容，给缠迷们扫扫盲。

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    分形是一种粗糙的或破碎的几何图形，它的组成部分可以被无限细分，而且它的局部的形状一般与整体相似。分形一般是自相似的和标度不变的。

    曼德勃罗在解释“分形”一词时说：“我由拉丁语形容词fractus创造了词“分形”（fractal）。相应的拉丁语动词fragere意味着‘打破’和产生不规则的碎块。从而可见（对我们的需要是何等地合适！），除了‘破碎的’（如像碎片或曲折），fractus也应当具‘不规则’的含义，这两个含义都被保存在碎片（fragment）中”（《大自然的分形几何》，p4）。

    有许多数学结构是分形，例如：谢尔宾斯基三角形、科切雪花、皮亚诺曲线、曼德勃罗集、洛仑兹吸引子等。分形同样可以描述许多真实世界的对象，如云彩、山脉、湍流和海岸线等，当然它们不是单纯的分形形状。

    曼德勃罗曾给出了一个分形的数学定义：一个几何对象，它的豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数。这不仅有些抽象，而且也不是一个令人满意的定义，因为还有好多分形，没有被该定义涵盖。后来曼德勃罗又给出了一个比较通俗的定义：部分与整体以某种形式相似的形。该定义仍然不能表达分形的全部意思，但会使很多初学者开始理解分形了，虽然还不能全部理解。

    那么究竟什么是分形呢？应该说，到目前还没有严格的定义。现在一般用法尔科内（《分形集几何学》）对分形集合F的描述来判某一对象是否是分形：

    （1）F具有精细的结构。即是说在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节；
    （2）F是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；
    （3）F通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义上的；
    （4）F在某种意义下的分形维数通常都大于它的拓扑维数；
    （5）在多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方法定义，或许以递归过程产生。

铁沐真